Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $3$ è la matrice quadrata $3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $I_{3}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.3

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.4

Sottrai $λ$ da $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.5

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & - λ & 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.6

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & - λ & 0 \\ 2 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.7

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & - λ & 0 \\ 2 & 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.8

Sottrai $λ$ da $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & - λ & 0 \\ 2 & 0 & - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 2 & - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 2 & - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 2 & - λ \end{array} | - λ | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ 2 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 - λ | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 - λ | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & - λ \end{array} | + 0$

Passaggio 1.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 1 \\ 2 & - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 - λ ((- 3 - λ) (- λ) - 2 \cdot - 1) + 0$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 0 - λ (- 3 (- λ) - λ (- λ) - 2 \cdot - 1) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$p (λ) = 0 - λ (3 λ - λ (- λ) - 2 \cdot - 1) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 0 - λ (3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot - 1) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.4.1

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.4.1.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 0 - λ (3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot - 1) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.4.1.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 0 - λ (3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot - 1) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0 - λ (3 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot - 1) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.4.3

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 0 - λ (3 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 1) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$p (λ) = 0 - λ (3 λ + λ^{2} + 2) + 0$

Passaggio 1.5.4.2.2

Riordina $3 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} + 3 λ + 2) + 0$

Passaggio 1.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Combina i termini opposti in $0 - λ (λ^{2} + 3 λ + 2) + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1.1

Sottrai $λ (λ^{2} + 3 λ + 2)$ da $0$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} + 3 λ + 2) + 0$

Passaggio 1.5.5.1.2

Somma $- λ (λ^{2} + 3 λ + 2)$ e $0$ .

$p (λ) = - λ (λ^{2} + 3 λ + 2)$

Passaggio 1.5.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = - λ \cdot λ^{2} - λ (3 λ) - λ \cdot 2$

Passaggio 1.5.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ) - λ (3 λ) - λ \cdot 2$

Passaggio 1.5.5.3.1.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.3.1.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - (λ^{2} λ^{1}) - λ (3 λ) - λ \cdot 2$

Passaggio 1.5.5.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - λ^{2 + 1} - λ (3 λ) - λ \cdot 2$

Passaggio 1.5.5.3.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ (3 λ) - λ \cdot 2$

Passaggio 1.5.5.3.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot 3 λ \cdot λ - λ \cdot 2$

Passaggio 1.5.5.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot 3 λ \cdot λ - 2 λ$

Passaggio 1.5.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.4.1

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.4.1.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot 3 (λ \cdot λ) - 2 λ$

Passaggio 1.5.5.4.1.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 1 \cdot 3 λ^{2} - 2 λ$

Passaggio 1.5.5.4.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Scomponi $- λ$ da $- λ^{3} - 3 λ^{2} - 2 λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.1

Scomponi $- λ$ da $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - 3 λ^{2} - 2 λ = 0$

Passaggio 1.7.1.1.2

Scomponi $- λ$ da $- 3 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (3 λ) - 2 λ = 0$

Passaggio 1.7.1.1.3

Scomponi $- λ$ da $- 2 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (3 λ) - λ \cdot 2 = 0$

Passaggio 1.7.1.1.4

Scomponi $- λ$ da $- λ (λ^{2}) - λ (3 λ)$ .

$- λ (λ^{2} + 3 λ) - λ \cdot 2 = 0$

Passaggio 1.7.1.1.5

Scomponi $- λ$ da $- λ (λ^{2} + 3 λ) - λ (2)$ .

$- λ (λ^{2} + 3 λ + 2) = 0$

Passaggio 1.7.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1

Scomponi $λ^{2} + 3 λ + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $3$ .

$1, 2$

Passaggio 1.7.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- λ ((λ + 1) (λ + 2)) = 0$

Passaggio 1.7.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- λ (λ + 1) (λ + 2) = 0$

Passaggio 1.7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ = 0$

$λ + 1 = 0$

$λ + 2 = 0$

Passaggio 1.7.3

Imposta $λ$ uguale a $0$ .

$λ = 0$

Passaggio 1.7.4

Imposta $λ + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Imposta $λ + 1$ uguale a $0$ .

$λ + 1 = 0$

Passaggio 1.7.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$λ = - 1$

Passaggio 1.7.5

Imposta $λ + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Imposta $λ + 2$ uguale a $0$ .

$λ + 2 = 0$

Passaggio 1.7.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$λ = - 2$

Passaggio 1.7.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- λ (λ + 1) (λ + 2) = 0$ vera.

$λ = 0, - 1, - 2$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $0$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.4

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.6

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.7

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.8

Moltiplica $0$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.9

Moltiplica $0$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} - 3 + 0 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Somma $- 3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.3

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.4

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.5

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.6

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.7

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.8

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 + 0 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2.9

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 1 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 (\frac{1}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 (\frac{1}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{2}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{2}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} (- \frac{2}{3}) & - \frac{3}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.6.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ y \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Passaggio 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} - 3 + 1 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma $- 3$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2.3

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 0 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2.4

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2.5

Somma $0$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2.6

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2.7

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2.8

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2.9

Somma $0$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ z \\ z \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $2$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.6

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.7

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.8

Moltiplica $2$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.9

Moltiplica $2$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} - 3 + 2 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Somma $- 3$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.3

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 0 + 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.4

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 0 + 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.5

Somma $0$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 2 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.6

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 + 0 & 0 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.7

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.8

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 + 2 \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.9

Somma $0$ e $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{array}]$

Passaggio 5.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - - 1 & - 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 2}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ z \\ z \end{array}]$

Passaggio 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$